Koordinatensysteme

Ort und Bewegungsrichtung eines Massenpunktes geben wir in Bezug auf ein Koordinatensystem an. Der Ursprung des Koordinatensystems dient als Bezugspunkt, die Lage der Koordinatenachsen als Referenz für Richtungen. Im dreidimensionalen Raum müssen wir drei Koordinaten angeben, um einen Ort eindeutig zu bezeichnen. Beschränken wir uns auf eine Ebene, sind es nur zwei. Die Definition der Koordinaten hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Sie sollten zumindest die folgenden drei Koordinatensysteme im Raum kennen:

Kartesische Koordinaten

Ein Ort im Raum wird durch die Koordinaten $x$, $y$ und $z$ angegeben: $\vec{r}=\left(x, \, y, \, z \right)$.

Zylinderkoordinaten

In Zylinderkoordinaten verwenden wir die $z$-Koordinate, den Radius $\rho$ und den Winkel $\phi$: $\vec{r}=\left( \rho,~ \phi,~ z\right)$. Mittels der folgenden Relationen lassen sich kartesische Koordinaten und Zylinderkoordinaten ineinander umrechnen:

\[ \begin{aligned}\displaystyle x&\displaystyle=\rho\cos\phi&\displaystyle\rho&\displaystyle=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}}\\ \displaystyle y&\displaystyle=\rho\sin\phi&\displaystyle\phi&\displaystyle=\arctan\frac{y}{x}\\ \displaystyle z&\displaystyle=z&\displaystyle z&\displaystyle=z\end{aligned} \]

Beachten Sie dabei die Periodizität der Arcus-Tangens-Funktion.

Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten benutzen wir den Radius $r$, den Azimuthwinkel $\phi$ und den Polarwinkel $\theta$: $\vec{r}=\left(r,~\phi,~\theta \right)$. Die Umrechnung zu kartesischen Koordinaten geschieht mit den folgenden Relationen:

\[ \begin{aligned}\displaystyle x&\displaystyle=r\sin\theta\cos\phi&\displaystyle r&\displaystyle=\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\ \displaystyle y&\displaystyle=r\sin\theta\sin\phi&\displaystyle\phi&\displaystyle=\arctan\frac{y}{x}\\ \displaystyle z&\displaystyle=r\cos\theta&\displaystyle\theta&\displaystyle=\arccos\frac{z}{\sqrt[]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\end{aligned} \]